На вопрос о почитании православных святынь на территории не православного храма,я уже отвечал в этой теме.
А по поводу источника повторю следующее.
Источник был православной святыней,остаётся и останется. Монастырь может переходить из рук в руки,но это не отражается на самом источнике. Сколько сам был в Лавре,всегда о обязательно заезжали всем автобусом на источник. Монастырь обходим,и в храмы их не заходим,а в источнике окунаемся. Вот и всё.
А вообще,поступайте так,как благословляют вас ваши наставники,которых вы знаете, и доверяете,потому что,в самой Лавре очень много неоднозначного отношения к разным вопросам и достаточно не однородный состав монахов,по уровню образованности и адекватности в ответах. Думаю,что запрещая ехать на источник,они поступают в общем-то мудро,поскольку знают наш народ и его склонность легко поддаваться на религиозные провокации и уходить в расколы,даже не заметив этого. Поэтому,если кто не поедет - это будет не грех,но таким образом монахи стараются обезопасить ваши души от опасности раскола. Однако,кто умеет отличать ересь от истины,кто имеет знания и не соблазнится желанием войти в монастырь,тому,думаю,не опасно ехать к источнику. Здесь принцип такой же,как со спичками,или напряжением в сети - маленьким детям не доверяют спички,потому что они не знают и не понимают правил противопожарной безопасности,как собственно,и правил дорожного движения.